21岁的数学大师——埃尔米特，第一个证明e是超越数的人

埃尔米特于1822年12月24日出生在法国创造能力和掌握别人理论精髓的能力在他身上很少结合19世纪中期需要的是将高斯的算术创造与阿贝尔和雅各比对椭圆函数的发现，以及英国数学家布尔，格洛里亚和西尔维斯特发展的代数不变量理论协调起来正是埃尔米特的这种能力

埃尔米特还是中学生的时候，就在图书馆里掌握了拉格朗日关于解数字方程的论文他还买了高斯的算术研究，并掌握了它在此之前或之后，只有少数人掌握了它在埃尔米特意识到高斯所做的数学研究后，他准备开始自己的研究后来，他说，我从拉格朗日和高斯的著作中学到了代数

《新数学年鉴》第一卷收录了埃尔米特学生时代写的两篇文章第一篇是关于圆锥曲线的解析几何，没什么新意第二篇是关于五次方程代数解的讨论

埃尔米特说，

拉格朗日使一般五次方程的代数解依赖于确定一个特殊五次方程的根，他称之为简化方程...因此，如果这个简化的方程可以分解成二次或三次有理因子，我们就得到五次方程的解我会试着解释这样的分解是不可能的

埃尔米特成功地完成了他的尝试，从而成为了一名代数科学家奇怪的是，埃尔米特竟然认为初等数学很难他在学校的成绩一般

1842年下半年，20岁的埃尔米特参加了综合工程学校的入学考试但结果只排在第68位这次考试成了数学小硕士的污点，他未来的一切成功都没有消除

埃尔米特只在综合工程学校学习了一年在这一年里，他把所有的时间都花在了阿贝尔函数上阿贝尔函数是当时数学研究的重点他还遇到了一流的数学家约瑟夫·刘维尔

埃尔米特在阿贝尔函数方面的开创性工作始于他21岁之前。1843年，埃尔米特给雅各比写了一封信，

研究了你关于从阿贝尔函数理论生成的四重周期函数的论文，使我得到了关于这些函数的变量分离的一个定理，这个定理类似于你给出的定理...得到阿贝尔讨论的方程根的最简单表达式。

让我大致解释一下这个问题的本质。三角函数是具有一个变量和一个周期的函数，

其中x是变量，2π是周期，Abel和Jacoby通过反转椭圆积分发现了一个一元两周期的函数。举个例子，

其中p和q是周期，雅可比发现了一个有两个变量和四个周期的函数。举个例子，

其中A，B，C和D是句号三角学中遇到的早期问题之一是sinx的表示

其中n是任意整数埃尔米特要解决的是一个二元四周期函数的对应问题，在Hermite的无与伦比的更难的问题中，结果仍然是一个方程至于这个方程，令人惊讶的是它可以用代数方法求解，也就是用根来求解

埃尔米特不仅与雅各比分享了阿贝尔函数的发现，还给他写了四封关于数论的长信这些信中的第一封是埃尔米特年仅24岁时写的，它开辟了一个新的领域光是这些信件就足以确立埃尔米特作为一个有创造力的一流数学家的地位

雅可比证明了以下断言:一个一元单值函数有三个不同的周期是不可能的一元单值函数可以有一个周期，也可以有两个周期

单值函数对于变量的每个值只取一个值。

埃尔米特声称雅可比的这个定理给了他引入高等算术的想法这些方法太专业，在这里无法描述，但思路可以简单指出

高斯意义上的算术，讨论有理整数的性质。高斯特别研究了二元或三元不定方程的整数解，例如在

其中a，b，c，m为任意整数，需要讨论方程的所有整数解x，y这里要注意的是，问题是确定的，必须在有理整数域内完全求解对于连续数的分析来说，研究这样一个离散的问题似乎是不可能的，而这正是埃尔米特想要做的他从离散系统表达式入手，把分析应用到这个问题上，最后得到了离散领域的结果由于解析理论比任何离散方法都发展得更充分，因此埃尔米特的工作可以与中世纪手工业引进现代机器相提并论

在代数和分析中，埃尔米特使用的方法比高斯写《算术研究》时使用的方法强大得多这些更现代的方法使埃尔米特解决了1800年困扰高斯的问题在一个进步中，埃尔米特赶上了高斯和爱森斯坦所讨论的那类一般问题，他至少开始了具有任意多个未知数的二次型的算术研究

算术类型论的一般性质可以从一个特殊问题的陈述中看出。二次高斯方程代替两个未知量

需要一个类似方程的n次s未知量的整数解，其中n，s为任意整数，方程左侧各项为n次经过仔细考虑，Hermite描述了Jacobi对单值函数的周期研究如何依赖于二次型理论中的一些更深层次的问题

在高斯先生向我们展示的这个无限的研究领域中，代数和数论似乎必然会融合成同一层次的分析概念，而我们目前的知识还不足以让我们对它形成一个准确的想法。

对于x 3—1 = 0，明白吗

既充分又必要，对于x ^ 7+ax+b = 0，其中a和b是任意已知的数，必须发明什么样的数x才能用a和b清楚地表示x高斯提供了一种解决方案:任意根x都是复数但这仅仅是开始阿贝尔证明了如果只允许有限次数的有理运算和求根，那么就不存在X根据A和b的显式表示，这个问题我们后面再回到，甚至更早，埃尔米特在他内心的某个地方做出了他最伟大的发现之一

埃尔米特的一项算术研究在这里可以作为纯数学预测的一个例子我们记得高斯将复数引入到高等算术中，以便给出双二次互易的最简单的表达式然后狄利克雷讨论了一些二次型，其中以变量和系数出现的有理数整数被高斯复数整数代替Hermite讨论了这种情况的概况，研究了今天Hermite形式中整数的表示

a12和a21是共轭的，a11和a22是它们各自的共轭很容易看出，如果所有的乘积相乘，整个形式是真实的

当埃尔米特发明这种形式时，他感兴趣的是找出这些形式所代表的是什么样的数字70多年后，人们发现在数学物理中，尤其是在现代量子理论中，埃尔米特代数是不可或缺的埃尔米特一点也不知道，在他死后很久，他的纯数学在科学上变得很有价值

埃尔米特在代数不变量理论上的发明太专业了，这里不讨论我们介绍他在其他领域的两项惊人成就埃尔米特在两个领域的所有工作中发现了一些最令人惊讶的原创性成果，即一般五次方程和超越数

众所周知，一般的五次方程，在没有任何无理判定的情况下，通过替换除平方根和立方根以外的系数，可以简化为以下形式。

也就是说，如果我们能解出这个方程，那么我们就能解出一般的五次方程。

这一杰出的结果归功于英国数学家杰拉德，是自阿贝尔证明根解是不可能的以来，五次方程代数理论中最重要的一步阿贝尔证明的不可能性说明，在寻找解的时候，有必要引入一些新的解析元素因此，把我们刚刚提到的非常简单的方程的根作为辅助量似乎是很自然的但是，为了证明严格地把它作为一般方程解中的基本元素是合理的，就需要知道这种形式的简单性是否能引导我们对它的根的性质有一些想法，掌握这些量存在方式中的特殊的和基本的东西我们对这些量一无所知，只知道它们不能用根来表示

现在，值得注意的是，杰拉德方程在这项研究中的使用非常简单，在我们将解释的意义上，可能存在真正的解析解因为我们可能确实会从不同的角度考虑方程的代数解，前四个方程的解在很长一段时间里已经表明了这一点，我们特别专注于求解它们

与其用一个包含多值根的公式来表示被认为是系数函数的密切相关的根，不如尝试得到由几个不同辅助变量的单值函数表示的根，其个数与三次方程的个数一样多。在这种情况下，有问题的等式是

我们知道，只要用一个角的正弦来表示系数A，就可以把方程的根表示成如下确定的函数。

在这里，埃尔米特回顾了三次方程的三角解辅助变量是a，单值函数在这里是正弦函数

现在相关的等式是

我们要展示的是完全相似的事实。只能使用椭圆函数，而不能使用正弦和余弦函数...

然后，埃尔米特立即着手求解一般的五次方程，并为此使用了椭圆函数向非数学家解释这个问题几乎是不可能的打个很不恰当的比方，埃尔米特发现了著名的失落的和弦当时没有人有丝毫怀疑，这样一个难以捉摸的东西会存在于时空的某个地方他完全出乎意料的成功在数学界引起了轰动更值得注意的是，它创建了一个新的代数和分析部门，其中的主要问题是发现和研究那些函数，根据这些函数，n次一般方程可以以有限形式显式求解目前，Hermite的学生Poincare获得了最好的结果，他创建了提供所需解的函数这些函数实际上是椭圆函数的自然推广广义函数具有周期性

埃尔米特在数学上另一个轰动性的成就是他证明了自然对数E的超越性，

e约为2.718281828e在当前数学中随处可见超越这个概念极其简单而重要系数为有理数整数的代数方程的任何根称为代数数不是代数数的数称为超越数

现在，给定任何一个按照一定规律构造的数，问它是代数的还是超越的，这是一个有意义的问题例如，考虑下面简单定义的数

其中指数2，6，24，120，…是连续的阶乘，即2=1×2，6=1×2×3，24=1×2×3×4，120=1×2×3×4×5，…这个数是任何整系数有理代数方程的根吗但答案是否定的

所确定的数是代数数，它是99900x—1=0的根。

第一个证明一些数是超越数的人是约瑟夫·刘维尔。1844年，他发现了范围广泛的超越数，它们都是

那些数是最简单的超越数但是要证明一个特定的数，比如E或者π，是不是超越数，是非常困难的所以当1873年埃尔米特证明E是一个超越数时，数学界不仅非常高兴，而且对证明的惊人独创性感到惊讶

从埃尔米特开始，已经证明了很多数是超越数。1934年，年轻的俄罗斯数学家亚历克西斯·盖尔范德证明了所有类型都是

是一个超越数，其中a不是0和1，b是任意无理数代数数这就解决了希尔伯特23个问题中的第7个问题

在埃尔米特证明了E是超越数之后，慕尼黑大学的林德曼证明了π是超越数他的方法和埃尔米特证明e的方法很像，就这样，永远解决了化圆为方的问题从林德曼的证明中可以推断出，仅仅用尺子是不可能画出与任何给定的圆面积相等的正方形的自欧几里得时代以来，这个问题一直困扰着一代又一代的数学家

附:E超越的证明

首先，假设E是N次代数数:

等式1:如果e是n次的代数数，它满足这个等式。

我们使用有理数来逼近e的幂，并定义以下对象:

等式2

其中，

对于等式2中e的每个幂，有:

对于非常小的函数，这个方程意味着所有的e t都非常接近于一个有理数。现在，我们将等式2代入等式1，并消除因子M，得到:

等式3

注意，等式1和等式3中的n是相同的量。等式3有两个明显的特征:

第一个括号里的表达式是整数，M使表达式不为零。

在第二个表达式中，将选择足够小的表达式lt的绝对值，一个

一级方程式

定义m总和

埃尔米特首先定义了m和。首先，他将M定义为:

其中p是一个质数质数p可以是我们想要的那么大

等式4

现在让我们选择P来满足上面的性质1和2。

我们先求积分M的值，乘以分子上的二项式得到。

它有一个积分系数。把这个放进m，然后用

获取:

我们很快就会发现，这个方程的第一项在限制大于n的质数时是不能被p整除的，可是我们很快就会发现第二项可以。展开阶乘:

因为m不能被p整除，所以等式3中的第一个括号也是现在考虑等式4中的第一个积分

积分变成:

分子括号中的多项式具有来自的整系数项

经过几个步骤后，您会得到:

对于整数cs每个m都是能被p整除的整数，因此，方程3中的第一个括号不能被p整除，因此，我们得出结论，方程3第一个括号中的项是非零整数如果是0，可以被p整除，但是我们得出的结论是不能

剩下的最后一部分就是证明，只要我们选择一个足够大的p值，公式1就是正确的，利用公式4，经过几个步骤，我们发现:

如果这个二项式乘积的绝对值对于x∈有一个上界b，我们得到:

因为p是无穷RHS 0，所以证明了。